آموزش ریاضی

طيّ بيست سال اخير، برنامه ي تدريس علوم رياضي در مدارس دستخوش تغييرات بسياري شده است. حرکت جديدي که در زمينه ي توسعه ي برنامه ي درسي در دو دهه ي 1950 و 1960 ايجاد شد در مورد علوم و رياضيّات به ارزشمندترين نتايج خود رسيد. چنين عنوان کرده اند که شايد پيشرفت اين دو درس با پيشرفتهايي که دانشمندان در زمينه ي اين دو علم داشته اند همگام نبوده است. رياضيّات پيشرفته ي يکصدسال اخير در آموزش ابتدايي و متوسّطه بچشم نمي خورد. علاوه بر آن، غالب مباحث رياضي که در مدارس تدريس مي شد بر آموزش طوطي وار مبنا داشت و هدف آن گسترش مهارتهاي مربوط به محاسبه بود. به رياضي به عنوان يک نظام منطقي، نظام نمادي يا نظام تحقيقي توجّهي نمي شد و استراتژي حل مسأله در رياضيّات چندان مطرح نبود.
کار حرکت جديد در زمينه ي توسعه ي برنامه ي درسي از دوره ي متوسّطه آغاز شد از آنجا که طرحهاي جديد نشان داد قدرت يادگيري کودکان بيش از ميزاني است که در برنامه ي درسي استاندارد منظور شده است، امر بازسازي مقاطع پايينتر، حتّي کودکستان و سالهاي ابتدايي آغاز شد. طولي نکشيد که آموزش مباحثي از « نظريّه ي مجموعه ها » (1) به خردسالترين کودکان مدرسه و نيز کمک به آنها براي يادگيري کاربرد نمادهاي جديد در مورد اعمالي چون « اتّحاد » و « فصل مشترک » مجموعه ها متداول شد.
گرچه معلّمان در اين حرکت تازه، از واژگان جديد رياضي استقبال کردند امّا کلاسهايي که از اين برنامه استفاده مي کردند همچنان بي روح بودند. از کودکان مي خواستند به جاي يادگيري مفاهيم رياضي از طريق بررسي ماهيّت اعداد و ارتباط با اعداد و نيز تعميم مفاهيم به کمک تجارب شخصي خود، مجموعه هاي تازه و لغات و اعمال جديد را به ذهن بسپارند. آنها اغلب واژگان نو را، بي آنکه فرصت درک و فهم آنها را داشته باشند، حفظ مي کردند. تفاوت رياضيّات « جديد » با رياضي سنّتي فقط آن بود که در رياضي جديد از زبان آشنا کمتر استفاده مي شد. از طرفي افزودن مباحث رياضي به برنامه ي درسي اغلب به دليل سودمندي آنها براي کودکان يا امکان کمک به درک بهتر رياضيّات نبود بلکه در اين مورد عجيب بودن اين مباحث علّت اصلي به حساب مي آمد.

برنامه هاي رياضي از نظر محتوا

رياضيّات براي خردسالان بايد چه ماهيّتي داشته باشد؟ به گفته ي « فِر » ( Fehr ) رياضيّات در سطح ابتدايي خود بايد شامل « مطالعه ي اعداد و فاصله و ايجاد ارتباط بين اين دو با استفاده از مقياسات... ارائه ي برنامه اي متوازن از مفاهيم رياضي، روشهاي محاسبه و حل مسأله » (2) باشد. اين هدفها مي تواند در سطح آموزش اوّليّه و مرحله ي خردسالي مفيد واقع شود. مطالعه ي « مجموعه ها » يادگيري اعداد اصلي و اعداد ترتيبي، تطابق يک به يک، اعمال جمع، تفريق، ضرب، تقسيم و نيز مفهوم کسر، هندسه ي ساده و آموزش مفاهيم اندازه گيري سطح، حجم و وزن را مي توان در برنامه ي رياضي منظور کرد.

آموزش اتّفاقي و آموزش با طرح

همزمان با توسعه ي برنامه هاي رياضي جديد مخالفت با « فعّاليّتهاي اتّفاقي » در کلاس درس براي آموزش رياضي آغاز شد. در برنامه هاي اوّليّه براي خردسالان اغلب به معلّمان توصيه مي شد به کتاب درسي متّکي نباشند؛ از محيط پيرامون کودک و فعّاليّتهاي روزمرّه ي او براي آموزش رياضي بهره جويند. غالب اوقات معلّم بايد منتظر مي ماند تا حادثه ي خاصّي بطور طبيعي رخ دهد و او با استفاده از واقعه اي اتّفاقي به آموزش بپردازد.
برنامه هاي جديد به رويدادهاي اتّفاقي کلاس بستگي نداشت بلکه درسها و تجربه هاي خاصّي براي کودکان طرح مي شد که در آنها هدفهاي آموزشي خاصّي نهفته بود. رشته هاي تحصيلي را به دقت بررسي و توالي آموزش را بطور خاصّي تنظيم مي کردند. کتابهاي درسي با طرّاحي ويژه کتابچه ي تمرين و وسائل کمک آموزشي همگام با برنامه هاي پيش بيني شده براي کودکان رواج يافت.
با کمال تأسّف بايد گفت در طرح بسياري از اين نوع برنامه ها تمايل به نجات از آشفتگي آموزش اتّفاقي سبب شده است فرصتهاي مغتنم زيادي که در زندگي روزمرّه ي کودک براي آموزش رياضي قابل استفاده است ناديده گرفته شود. راههاي نظام يافته اي براي بهره گيري از دنياي پيرامون کودک به عنوان منبع يادگيري رياضيّات وجوددارد. لازمه ي اين کار ارزيابي دقيق معلّم از امکانات آموزشي موجود در هر موقعيّت و نيز درک روشن هدفهاي آموزش رياضي به کودکان خردسال است.
برنامه اي طرح ريزي شده نبايد الزاماً يک برنامه ي رسمي باشد. معلّمان کودکان خردسال خود مي توانند به طرح تجربه هاي پربار بسياري در زمينه ي آموزش رياضي بپردازند بي آنکه به کتاب درسي يا جلسات سخنراني و از حفظ خواني توسّل جويند. تقريباً در همه ي زمينه هاي آموزش خردسالان فرصتهايي براي آنان فراهم است تا به دسته بندي اشياء و شمارش اندکي از آنها سرگرم شوند. با ساختمان سازي به وسيله ي مکعّبها مي توان، ضمن آنکه کودکان دو ديوار يک ساختمان را با هم مطابقت مي دهند، فرصتهاي بسياري را براي مقايسه و نشان دادن تطابق يک به يک فراهم آورد. به همين نحو، در نجّاري نيز مي توان ضمن ساختن وسائل چوبي مقايسه ي طول قطعات چوب و شمارش ميخها را آموزش داد. کودکان در بخش هنر و صنايع دستي نيز فرصتهايي براي دسته بندي و مقايسه دارند. دو نمونه ي ساده از اين نوع فعّاليّتها يکي سنجش حجم تکّه هاي خميري است که کودکان براي بازي از آن استفاده مي کنند و ديگري صحبت و بحث بين آنها در مورد شکل و ويژگي خاص کاغذهاي مختلفي است که در اختيار هر يک مي گذاريم. از بازي با ماسه يا آب که از ظرفهاي مختلف نيز استفاده مي شود به تجربه و يادگيري اندازه هاي مختلف مي رسند.
علاوه بر آنچه گذشت، با استفاده از فرصتهايي که براي کودکان ضمن بازي با انواع وسائل کاردستي پيش مي آيد امکان به دست آوردن اطّلاعاتي درباره ي اعداد، اندازه، شکل و نظاير آن وجود دارد. انواع وسائل کمک درسي براي آموزش رياضي از قبيل مکعّبهاي اشتِرن ( Stern )، ميله هاي کوئينرنر ( Cuiesenaire rods )، يا مهره هاي مونته سوري ( Montessori ) را مي توان به کار بُرد. شمارش اعداد آشنايي با اعداد و الگوسازي را به کمک بازيِ هوش آموزش مي دهند. در اين نوع بازيها از اشکال هندسي، مجموعه ي سنجاق، مجموعه مهره و نخ استفاده مي شود. براي کودکان هر کلاس موقعيّتهاي بسياري پيش مي آيد تا به شمردن اعداد، مقايسه و اندازه گيري سرگرم شوند و در خلال اين فرصتها رياضيّات را تمرين کنند.
هرگاه کودکان واقعيّتهاي محيط پيرامون خود را به طريقه اي مناسب تجربه کنند، رياضي را درسي ناشناخته، صرفاً نظري و کاملاً مغاير زندگي خود احساس نمي کنند. چنين احساسي در آن هنگام به ذهن آنها خطور مي کند که معلّم اين درس را بشکلي سخت و صرفاً مجرّد آموزش دهد. جاي تأسف است اگر عدّه اي از کودکان خردسال را در درک رياضي بي استعداد بخوانيم در حالي که همين کودکان را هر روز به فروشگاه مي فرستند. آنها خود سفارش خواربار مي دهند، پول آن را به فروشنده مي پردازند و در مسير خود پول اضافي را مي شمارند تا مطمئن شوند در انجام معامله زيان نکرده اند. غالب اوقات آنچه در يادگيري رياضي ايجاد اشکال مي کند درس رياضي نيست بلکه نحوه ي تدريس آن است.

آموزش مفاهيم رياضي پايه به خردسالان

گرچه نظام مباحث رياضي و درجه بندي کردن هر عنوان براي آموزش به خردسالان امر ساده اي به نظر مي آيد، اما کاري بي حاصل است. انسان مي تواند حدود سنّي مناسب براي تدريس مفاهيم را تعيين کند، امّا بايد امکان تغييراتي را نيز بدهد. نبايد کودکي را که زودتر از ديگران به مدرسه آمده به اين دليل که ديگران هنوز آمادگي لازم را پيدا نکرده اند از ادامه درس منع کرد. توجّه به اين نکته نيز مهّم است که يادگيري مفاهيم از رسم معمول همه يا هيچ پيروي نمي کند. کودکان ابتدا با استفاده از درک شهودي خويش به محيطشان پاسخ مي دهند و به تدريج قادر مي شوند به يک سري حدسيّات درباره ي مفاهيم کاملتر برسند. با داشتن تجربه هاي متوالي از يک فکر و مواجهه با نمونه هاي متعدّدي از آن، مفهوم را عميقتر درک مي کنند. بنابراين در مطالب اين فصل، تعيين کلاس يا سنّ
کودک مورد نظر نيست. معلّمان بايد ضمن تدريس به شاگردان کلاس خود، به سطح درک آنان و شرايطي که براي درک مفهومي خاص لازم است توجّه کنند.
ارزيابي سطح درک کودک از ارزيابي استعداد او در سخنگويي به وضعيّتي خاص مشکلتر است. گاه معلّم متوجّه کودکي مي شود که از عهده ي حلّ يک صفحه از کتابچه ي تمرين برمي آيد امّا نمي تواند مشابه اين اعمال را در موقعيّت ديگري انجام دهد. يک راه براي ارزيابي سطح فهم کودک آن است که توانايي او در استفاده از آموخته هاي خود در موقعيّتهاي ديگر سنجيده شود. توجّه دقيق به پاسخهايي که کودکان به پرسشها مي دهند در شناسايي سطح درک آنان اهميّت دارد. ارزيابي را مي توان با شمارش پاسخهاي درست انجام داد. اگر پاسخ نادرست باشد، پي بردن به سطح درک کودک مفيد است. شايد پاسخهاي نادرست به سبب بي توجّهي او باشد، امّا غالب اوقات ناتواني او را در درک مفاهيم مي رساند. معلّمان مي توانند بعد از شناخت مشکلات کودکان، يا فعّاليّتهايي را در برنامه منظور کنند که از آن طريق تفهيم آنچه درست فهميده نشده است سهل شود، يا تدريس خود را با توانايي درک کودک بيشتر هماهنگ سازند.

دسته بندي اشياء

براي آموزش مفهوم کمّيّت به کودکان خردسال در ابتدا بهتر است آنها را با دسته بندي اشياء آشنا کنيم. آنها مي توانند مدادهاي يک جعبه، مهره هاي قرمز رنگ يک مجموعه، قطعات يک بازي هوش، شيشه هاي شير، يا بچّه هاي يک کلاس را دسته بندي کنند. چنين گروه يا دسته اي را « مجموعه » مي نامند. گرچه از اشياء غيرمشابه نيز مي توان مجموعه اي ساخت اما اگر کودک ابتدا ازاشياء مشابه استفاده کند در يادگيري مفهوم مجموعه سازي کمتر دچار اشتباه مي شود.
شمارش و مقايسه ي مجموعه ها نيز براي آغاز آموزش به خردسالان مطلوب است. در اين مورد، جورکردن اجزاي يک مجموعه شايد آسانترين راه باشد. مثلاً کودکان مي توانند همزمان با چيدن ميز براي چاشت تعداد دستمالهاي سفره و زير بشقابيها را بشمارند و با يکديگر مقايسه کنند. از اين طريق مي توانند بفهمند تعداد آنها مساوي است يا اينکه يک مجموعه بيشتر از ديگري و مجموعه ديگر کمتر از اوّلي است. يادگيري مفاهيم بيشتر، کمتر و مساوي مقدّمه اي براي آشنايي با چه مقدار بيشتر يا چه مقدار کمتر خواهد بود. اين نحو استفاده از مجموعه ها و مقايسه مجموعه ها نوعي کاربرد عملي محسوب مي شود و استفاده از رياضي را براي کودکاني که حال بايد محيط پيرامون خود را بر اساس اندوخته هاي رياضي ( تهيّه دستمالها يا زيربشقابيهاي بيشتر ) تغيير دهند، ملموس مي سازد.
براي آموزش تطابق يک به يک از طريق جور کردن مجموعه ها مي توان از عکس، لوحه يا اجسام ديگر بهره جست. اگر در مراحل اوّل کودکان خود چيزهايي بسازند مفيد است. آنها با کارهاي دستي ساخته ي خود مي توانند دو مجموعه بسازند و قبل از يادگيري شمارش اعداد، تعداد آنها را جزء بجز مقايسه کنند.

شمارش اعداد

کودکان اغلب قبل از آنکه به مهدکودک يا کودکستان پا بگذارند « شمارش اعداد را يادگرفته اند ». به خاطر سپردن اعداد يک مجموعه، بدون درک ارتباط عدد با نام آن يا رقم، تنها مفهوم بسيار رايج شمارش را تشکيل مي دهد.
امکاناتي را بايد براي کودکان فراهم کرد تا به کمک آن رابطه ي نام يا نماد يا عدد مورد نظر را تشخيص دهند. کودک خردسال بين شکل ظاهري عدد و مفهوم آن تفاوتي اندک قائل است. به کمک تجربه هايي که ذکر آن گذشت مي توان اين پيوندها‌ را به آنها آموخت. با استفاده از کارهاي دستي مي توان از کودکان خواست مجموعه هاي دو و سه را بسازند. ابتدا ساده ترين راه آن است که مجموعه هاي ساخته شده را با مجموعه هاي الگو جور کنند. نماد کلامي عدد را مي توان در ابتداي امر آموزش داد؛ براي آموزش نماد مکتوب شايد مدّتي فاصله زماني ضروري باشد. گرچه در مورد تفاتهاي عدد و رقم مطالب بسياري نوشته شده است امّا ممکن است تأکيد بر اين تفاوتها کودک خردسال را دچار سردرگمي کند.
براي آموزش مجموعه دو، سه، چهار و غيره مي توان کودکان را در موقعيّتهاي بسياري قرار داد. آنها مي توانند اين مجموعه ها را با مجموعه هاي ديگر، يا دسته اي را با دسته ي ديگر، يا گروهي را با تصويرهاي گروه ديگر جور کنند، مجموعه ي نمادها را با مجموعه اشياء تطبيق دهند. با آغاز نوشتن، آنها قادرند ارقام و نيزحروف را بنويسند و به مطابقت ارقامي که مي نويسند با تعداد اشياء يک مجموعه بپردازند.
از اين مرحله به بعد، کودکان مي توانند با افزودن يک شئ به مجموعه ي قبلي، ساختن مجموعه هاي جديد را آغاز کنند. بايد به آنها فرصت داد تا تعداد اشياء هر گروه را بصورت رديف مجموعه هايي در آورند. به کمک چنين تجربه هايي است که کودکان مي آموزند اعداد « يک » تا « ده » در رديفي خاص جاي دارند و از کوچکترين کميّت تا بزرگترين مقدار تنظيم شده اند. اين آغاز شمارش و درک ترتيب اعداد است. هرچند استفاده از وسائل کمک آموزشي در پيشرفت کودکان مؤثّر است، جدولي از اعداد و ارقام، از صفر تا ده، در مراحل نهايي به آموزش تنظيم اعداد کمک مي کند.

سيستم اعداد

هنگامي که کودکان شمردن اعداد بالاتر از ده و نيز نوشتن آنها را آغاز مي کنند بايد با سيستم شمارش اعداد آشنا شوند. اين سيستم ويژگي هاي خاصّ خود را دارد، امّا يادگيري اعداد بسيار بزرگ فقط با ده رقم در حدّ خود ساده به نظر مي رسد. کودکان ابتدا به کمک نماد يا رقم، 0 و1 و2.... 9، با اعداد آشنا مي شوند. بعد از آن بايد به آنها آموخت که سيستم شمارش اعداد بر مبناي ده است و جاي هر رقم در هر عدد ارزش آن را مي رساند. اين مفهوم را مي توان به کمک انواع روشها به کودکان آموزش داد. در اين زمينه فعّاليّتهايي که در آنها کودکان با استفاده از ده چوب، مهره يا نظاير آن بتواننند يک دهتايي را نشان دهند مفيد به نظر مي رسد. با تهيّه ورقه هايي که روي آن چند ستون کشيده شده است يا کارتهاي جيبي مي توان کودکان را ياري کرد تا اهميّت جاي هر رقم را براي بيان مقدار درک کنند، همراه با اين آموزش زمان يادگيري نماد سازي اعداد دورقمي فرا مي رسد.
کودکان ضمن پيشرفت در يادگيري اعداد دو رقمي به آموزش اعداد سه رقمي مي رسند. راههاي ديگري نيز براي يادگيري اعداد وجود دارد. آموزش اعداد يک رقمي با وسائلي چون مربّع و دسته هاي مربّع که از يک تا ده رديف شده اند و چوبهاي سه بُعدي يا تعدادي مهره به سهولت امکان پذير است. اعداد دو رقمي نيز به همين شکل تدريس مي شود. مجموعه ي ده چوب که ارزش عدد هر چوب ده واحد باشد يک صدتايي را نشان مي دهد.
تدريس اعداد بزرگ به طريقه ي واقعي شايد خسته کننده باشد. در مجموع مهره هاي طلايي مونته سوري، مکعّبي بطول ده مهره، عرض ده مهره و ارتفاع ده مهره يک هزارتايي را نشان مي دهد. بعد از مدّت کوتاهي کودکان نياز به استفاده از اعداد کاملتر بخصوص اعداد بزرگ را درک مي کنند و به بازي نشان دادن و خواندن اعداد بزرگ با به کار گيري سيستم اعداد عربي سرگرم مي شوند.

چهار عمل اصلي

رسيدن از شمارش، مقايسه و نوشتن اعداد به چهار عمل اصلي نسبتاً کاري ساده است. در مقطع ابتدايي کودکان عمدتاً با چهار عمل جمع، تفريق، ضرب و تقسيم آشنا مي شوند. کودک باشمارش از يک به بالا و بالعکس دو عمل اصلي جمع و تفريق را تمرين مي کند. بشر قرنها براي عمل جمع و تفريق از وسائلي نظير چرتکه استفاده کرده است.
انسان مي تواند به کمک اين وسيله ي نسبتاً عجيب ودر عين حال ساده و نيز شمارش دانه هاي تسبيح اعمال پيچيده رياضي را انجام دهد.
به همين طريق، در طرح مسأله هاي ساده ي جمع و تفريق مي توان از فرايند شمارش اشياء بهره جست. کودک بعد از مدّتي آشنايي با اين فرايند و درک آن در حقيقت مي تواند راه را کوتاه کند و به آلگوريتم (3) برسد. با رشد درک کودک، تمرينهاي بيشتر به مهارت او در محاسبه مي افزايد. عدم موفّقيّتهايي که در برنامه هاي رياضي خردسالان در غالب موارد پيش مي آيد هنگامي است که معلّمان از ياد مي برند. يادگيري رياضيّات بايد بادرک توأم باشد و براي آنکه تسلّط کامل حاصل شود بايد از تمرين استفاده کرد. اگر اساس برنامه را تنها تمرين تشکيل دهد، حقايق ساده، به دليل آنکه از اول نامفهوم بوده اند، زود فراموش مي شوند.
بايد براي کودکان موقعّيتهاي بسياري را فراهم کرد تا با استفاده از مجموعه ي اشياء بتوانند حقايق عمل جمع را در ذهن جايگزين ساند. با ساختن اشياء تجربه هاي بسياري نصيب آنها مي شود و آنها را به درک شهودي عمل جمع مي رساند. در اين مرحله است که فرايند جمع رسميّت مي يابد و کودک با اصطلاحات مناسب رياضي آشنا مي شود. شايد اگر بر جنبه ي رسمي حساب پيش از زمان مناسب آن تأکيد شود درک شهودي کودکان از مفاهيم و اعمال پيچيده را عقيم گذارد. با تکرار بيش از حدّ اينکه: « تواشتباه مي کني » يا « تو درست نمي گويي »، شايد کودک بکلّي از گفتن پاسخ باز ايستد. اگر کودکان در مورد اعمال جمع و تفريق به تمرين مداوم بپردازند به تسلط کامل مي رسند.
براي آموزش تفريق روشهاي مشابهي وجود دارد. اين عمل در حقيقت زماني آغاز مي شود که براي کودک موقعيتهائي فراهم آيد تا بتواند از مجموعه اشياء تعدادي را « بردارد » و بفهمد چه تعدادي مانده است. با استفاده از چرتکه يا وسائلي نظير آن، کم کردن تعدادي از يک مجموعه اشياء و مقايسه مقدار بيشتر با مقدار کمتر، آموزش شمارش معکوس به کودک ميّسر مي شود. دليل صحت پاسخ را کودک خود مي تواند در همان لحظه عنوان کند. اين امر با شمارش تعداد مهره هاي مانده و مهره هاي برداشته شده آسان است.
آنگاه که کودکان مفهوم مرتبه را ياد گرفتند و مثلاً تساوي يک « ده تا » و ده « يکي » را درک کردند اعداد يک رقمي را آموخته اند و به سادگي مي توانند از جمع و تفريق يک رقمي به دو رقمي برسند.
آشنايي با ضرب و تقسيم معمولاً در سالهاي ابتدايي صورت مي گيرد. اين فرايندها را نيز مي توان ابتدا با استفاده از وسائل دست ساز و آنچه کودکان از رياضي آموخته اند آموزش داد. آنها قبل از آشنايي باعمل ضرب مي توانند اعداد را دو به دو، پنج به پنج و ده به ده بشمارند؛ جمع بستن را نيز ياد گرفته اند. اگر مثلاً از آنها بخواهيم پنج دسته ي دوتايي مکعّب را کنار هم بگذارند، تجسّمي از فرايند ضرب در ذهن خواهند داشت. بسياري از اين نوع تجربه ها براي شروع آموزش مفيد است. بعد از مدّتي حقايق ضرب بصورت جدولهايي در مي آيد.
براي شروع آموزش تقسيم طرح سؤالاتي از اين قبيل مناسب است: « اگر بخواهيم اين دوازده دانه لوبيا را به دسته هاي سه تايي تقسيم کنيم چند دسته ي سه تايي خواهيم داشت؟ »، يا « مي خواهم مقداري بيسکويت را بشکلي به اين پنج کودک بدهم که به هر يک تعداد مساوي برسد. من ده عدد بيسکويت دارم، به هريک چند بيسکويت مي رسد؟»، اگر از موقعيّتهاي عادي استفاده شود، اگر کودکان را به ساختن اشياء معمول سرگرم سازيم و آنها را به کار پيرامون اطراف خويش واداريم، زير بنايي براي آموزش رياضي مراحل بعد فراهم آورده ايم.

هندسه

خردسالان در زمينه ي هندسه شکلهاي اصلي را مي آموزند. آنها ابتدا شکلهايي چون مربّع، دايره و مثلّت را مي شناسند ومقايسه مي کنند. آموزش مستطيل و شکلهاي ديگري را که تشخيص آنها مشکلتر است مي توان در مرحله اي آغاز کرد که آنها بتوانند اندازه ي ضلع و زاويه اشياء را با هم مقايسه کنند. آنها بايد براي شناسايي اين قبيل شکلها، ضلعها و زاويه ها، يا « گوشه ها » را بشمارند و بعد از مدّتي اندازه ي ضلعها را نيز مقايسه کنند تا مرحله اي که بين مربّع، که اضلاع يک اندازه دارد و مستطيل، که دو ضلع کوچک و دو ضلع بزرگ مساوي دارد تفاوت قائل شوند.
بعد از آنکه کودکان اندازه گيري را آموختند، مقايسه محيط و مساحت اشياء يا اشکال مختلف آغاز مي شود. ممکن است با نشان دادن دو شيئ مختلف از کودکان بخواهيم آن را که پيرامون بزرگتري دارد مشخّص کنند يا با استفاده از اشياء مناسبي که در دسترس آنهاست تعيين کنند چه تعداد از آنها سطح ميزي را مي پوشاند ( مسأله در مورد مساحت ) واز اين طريق حلّ اين نوع مسائل را بياموزند. آنها با يادگيري دسته بندي اشياء از روي شکل آنها با شکل هندسي اشياء پيرامون خود آشنا مي شوند. اگر هندسه بطور ملموس ارائه شود، امر آموزش آن طبيعي جلوه مي کند زيرا از اين طريق کودکان با لمس اشياء و طرح سؤال نظريّات خود را بر اساس واقعيّات عيني به آزمايش مي گذراند. گرچه استفاده از لغات مناسب براي آموزش هندسه به کودکان اهميّت دارد، اما زبان آموزش بايد از لابلاي تجربه ها به دست آيد؛ در غير اين صورت محتوا انتزاعي و، با تأسف، بي معني مي شود.

آموزش مهارتهاي اندازه گيري

يک راه براي منسجم ساختن آموزش رياضي به کودکان و عينيت بخشيدن به مفاهيم کميّت و فاصله، استفاده از اندازه گيري است. کودک خردسال از اين طريق مي تواند دانش رياضي در حال رشد خود را وسيله اي براي درک جهان پيش روي خود سازد. کودکان خردسال اندازه گيري را راحت و بطور مستقيم مي آموزند. آموزش اندازه گيري را از تدريس مقايسه اشياء با يکديگر آغاز مي کنند، با سنجش اشياء نسبت به معياري مشخّص، ساده و قراردادي ادامه مي دهند تا به مقايسه و کيفيّت سنجي آنها با معيارهاي متداول شده مي رسند. هر زمينه از سنجش مسائل منحصر به خود را دارد.

اندازه گيري طول

کودکان در خردسالي با مسائل مربوط به اندازه ي طول مواجه مي شوند. مسأله ي مقايسه ي ارتفاع دو پهلوي يک ساختمان مکعّبي يا پيداکردن يک قطعه چوب از کارگاه نجّاري از جمله تجربه هايي است که آنها در زمينه ي مسائل خطّي به دست مي آورند. تهيّه ي مجموعه ي قطعات چوب براي کودکان کاري ساده است. مي توان از آنها خواست قطعه چوب بلندتر يا کوتاهتر را نشان دهند، يا حتّي دو به دو کنار هم بايستند تا ببينند قدّ کدام يک بلندتر است. از اين طريق مي توان مفاهيم « بلند »، « بلندتر »، « کوتاه »، « کوتاه تر »، « دراز »، « درازتر » را به آنها آموخت.
مقايسه ي طول، در يک مرحله بالاتر شامل اندازه گيري و سنجش چيزهايي است که کنار هم قرار نمي گيرند؛ مقايسه ي دو ساختمان جدا از هم که از مکعّب ساخته اند يا ارتفاع ميز و نيمکت آشپزخانه از آن جمله است. در اين حالت کودک ناگزير بايد بشکلي اندازه ها را بنويسد و با هم مقايسه کند. براي اندازه گيري و مقايسه ي عيني ارتفاع يک ساختمان با ساختمان ديگر، شايد بتوان يک قطعه چوب را مقياس قرار داد. بعد از تمرينهاي زيادي از اين قبيل ابزار، اندازه گيري معمول، مانند خط کش يا ميله هاي يک ياردي را مي توان به کار برد. کودکان مي توانند، بعد از يادگيري شمارش اعداد، با شماره هاي خط کش و واحد « اينچ » آشنا شوند. بعد از مدتي به اندازه گيري اشياء داخل اتاق برحسب اينچ مي پردازند. قبل از آشنايي با کسر، مي توانند طول اشياء را بصورت مثلاً از - سانتيمتر تا - سانتيمتر نشان دهند.
هنگامي که کودک در اندازه گيري چيزها مهارتي کسب کرده باشد نمي توان براي تواناييهاي او در اندازه گيري حدّي تصوّر کرد و از اين راه فرصتهاي بيشماري براي اعمال جمع و تفريق برايش فراهم خواهد شد. او مي تواند کف اتاقها، ديوارها، اثاثيّه ي منزل، وسائل درسي و آدمها را اندازه گيري کند. در نتيجه اين نوع تمرينها، کودک از مقايسه ي اندازه ها صحبت مي کند و درباره ي آن مطلبي را مي نويسد.

اندازه گيري وزن

تعيين وزن يک شي از وضع ظاهري آن تا حدي از تعيين طول آن شي مشکلتر است. سنجش وزن يک شي با دست از واقعيت بسيار دور است زيرا حجم آن شي سبب خطاي حواسمان مي شود. مثلا نيم کيلو پر هموزن نيم کيلو سرب به نظر نمي رسد. در آموزش مقايسه وزن اشياء به کودکان استفاده از وسائل جنبي در نحوه قضاوت آنان موثر است.
براي کمک به کودکان در ابتداي آموزش مقايسه وزنها، يک ترازوي ساده وسيله مفيدي محسوب مي شود. اين وسيله را مي توان يا از فروشندگان وسائل کمک آموزشي خريداري کرد يا با استفاده از يک قطعه چوب مقداري نخ و دو قوطي حلبي ساخت. اگر معلم خود چنين ترازويي مي سازد بايد دقت کند دو سوي آن، هنگامي که دو قوطي خالي است کاملا در حالت تعادل باشد.
از طرف ديگر اندازه گيري وزن را مي توان با مقايسه اشياء آغاز کرد. دو شيي را در دو کفه ترازو ميگذاريم و از کودک مي خواهيم ببيند کدام کفه بالا و کدام کفه پايين تر است تا ازاين طريق نسبت به سبک يا سنگين بودن اشياء قياس عيني داشته باشد. مرحله بعد مقايسه و اندازه گيري اجسام به وسيله معايرهاي قراردادي است. اين قبيل معيارها را مي توان از هر جنسي انتخاب کرد واشر فلزي بزرگ، وزنه ماهيگيري يا سنگ براي اين منظور مناسب است. بعد از مدتي از وزنه هاي فلزي استاندارد استفاده مي شود تا کودکان با وزنه هاي صد گرمي، دويست و پنجاه گرمي و نيم کيلويي آشنا شوند.
آنها بعد از اشنايي با مقياسات وزن، به اين نکته پي مي برند که ارتباط بين واحدهاي ارتباطي پيچيده است. اين نسبتها را فقط بايد بشکل قراردادي آموزش داد. به اين منظور استفاده از يک ميزان، که وزن انسان را مي سنجد مفيد است. کودکان با خواندن شماره اي کهک عقربه روي صفحه نشان مي دهد وزن شيي را تعيين مي کنند. اين کار آنها را با اندازه گيري غيرمستقيم آشنا مي سازد زيرا با خواندند صفحه ميزان توجه آنها به اين مساله جلب مي شود که سنگيني سبب حرکت و انتقال عقربه از صفر مي شود.
بهتر آن است قبل از شناختن اندازه گيري غيرمستقيم کودکان را با اندازه گيري مستقيم آشنا کنيم. تعداد اشيائي که براي وزن کردن مي توان در محيط مدرسه پيدا کرد بي شمار است کودکان بعد از تعيين وزن اشياء وزنها را با هم مقايسه مي کنند، جمع مي بندند يا عمل تفريق انجام مي دهند و از اين طريق عباراتي را بصورت کتبي و شفاهي بيان مي کنند. آنچه اهميت پيدا مي کند آموزش زبان اندازه گيري يعني مفاهيمي چون « سبکتراز » « سنگين تر از » « هموزن » مي باشد.

اندازه گيري حجم

براي آموزي مقياس حجم، ظروفي با اندازه وشکل متفاوت تهيه مي کنند ويا در اختيار گذاردن فرصت کافي از کودکان مي خواهند ظرفها را پر کنند و محتواي هريک را در ديگري بريزند. تهيه ظرفهايي با حجم مساوي اما با شکل متفاوت براي کلاس مفيد به نظر مي رسد. استفاده از اين ابزار در يادگيري اين نکته به کودکان کمک مي کند که حجم تنها به بلندي يا پهني ظرف بستگي ندارد. ظرفهايي را که داراي حجم استاندارد هستند نيز به موقع خود بايد به کودکان نشان داد. فنجان، ظرفهاي نيم ليتري و يک ليتري از آن جمله اند. نقاطي که براي بازي بچه ها با ماسه وآب درنظر گرفته مي شود، يا هر نقطه از کلاس براي آشنايي با اندازه گيري حجم ظروف بسيار مناسب است.

اندازه گيري زمان

در سالهاي اوليه کودکي به اندازه گيري زمان توجه زيادي ميشود زمان را بطو مستقيم اندازه مي گيرند که اين طريق آموزش براي خردسالان مشکل است. معلمان با تقويم و ساعت زياد کار مي کنند. متاسفانه اين کار به دلايل زيادي موثر نمي افتد. بسيارديده شده است که مربيان کودکستان با استفاده از تقويم با کودکان صحبت مي کنند درحالي که کودکان توجهي ندارند و فقط گهگاه از آنها پاسخي شنيده مي شود.
براي اموزش اندازه گيري وقت دو راه وجود دارد که بايد به هريک جداگانه اشاره کرد. يک راه خواندن صفحه ساعت وتقويم است. طريق ديگر اندازه گيري چيزي است که نمي توان آن را ديد يا احساس کرد. گذشت زمان يک مقوله ذهني است. همه ما مراحلي از زمان را پشت سر گذاشته ايم که بکندي و با خستگي سپري شده است. يا مراحلي که بسرعت گشته است. درک مفهوم زمان براي کودک مشکل است. کودک خردسال در دوره پيش دبستاني خود کمتر نسبت به زمان شناخت پيدا کرده و تنها شاهد گذشت روز و شب و نظم حوادث روز، ازجمله تماشاي برنامه تلويزيوني بوده است. از او هيچ انتظاري براي « وقت شناس » بودن نداشته اند/. از چند نوبت تغيير فصول نيز تجربه اندکي اندوخته است. با آغاز مدرسه، ناگهان زندگي او با زمان تنظيم مي شود و زمان از لحاظ رواني اهميت بسياري پيدا مي کند.
بسياري از مسائل کودکان در مورد کار با تقويم يا ساعت از اين حقيقت ناشي مي شود که از کودکان مي خواهيم زمان دور از ذهني را روي صفحه ساعت يا تقويم بخوانند بي آنکه نمادهاي مشخص ونظامهاي خاصي رابه آنها بياموزيم. مساله ديگر از روابط پيچيده اجزاي زمان با يکديگر و نيز عجز کودک در آشنايي با علائم بخش زمان نشات مي گيرد. غالب اوقات وظيفه کودک فقط به خاطر سپردن و در حقيقت نفهميدن آنچه در مورد زمان به او مي گويند مي باشد. جاي تعجب است که تاکنون تعداد راهنمايان برناه درسي که وقت لازم را صرف تجزيه و تحليل و شناسايي ماهيت عناصر سنجش زمان کنند اندک بوده است درحالي که شناخت اين عناصر بريا تثيبت موفقيت در آموزش اين مبحث ضروري به نظر مي رسد. مقاله « گاتکين » ( Gatkin ) در زمينه آموزش زمان به کودکان برنامه منظمي را ارئه مي دهد. (4)

مباحث ديگر رياضي

در بحث تدريس رياضيّات در سالهاي دوره ي ابتدايي عناوين زيادي بچشم مي خورد. با آنکه اين عنوانها اهميّت نکات ذکر شده در صفحات قبل را ندارد، همچنان در برنامه ي مورد توجّه قرار مي گيرند. از جمله ي آنها بررسي کسر، استفاده از نقشه، نمودار و پول است.

کسر

بعد از آنکه کودکان مجموعه اعداد را درک کردند مي توان به آنها کمک کرد تا کسرهاي ساده را نيز بشناسند. شناختن يک کسر از طريق تقسيم يک واحد به چند قسمت مساوي امکان پذير است. در سالهاي اول ابتدايي مي توان مفهوم يک دوّم، يک چهارم و يک سوّم را به کودکان آموزش داد. اوّلين مرحله اين آموزش درک تعداد قسمتهاي يک واحد بدون در نظر گرفتن برابري کامل اين قسمتها است. معلّم براي تدريس کسر در کلاس مي تواند از موقعيّتهاي بسياري استفاده کند. تقسيم غذا يا وسائل کاردستي، کار با مکعّبها يا پشت دستگاه نجّاري، همه از اين قبيل موقعيّتها هستند.
درک مفهوم کسر براي کودکان خردسال، همچون درک مباحث ديگر، حرکتي کُند دارد. مفهوم « نصف » براي طفلي که در مهدکودک است وقتي شکل مي گيرد که مي بيند اشياء را به دو قسمت تقسيم مي کنند. واقعيّت امر، يعني آگاهي از اين که قسمتها وقتي نصف گفته مي شوند که برابر باشند، بخشي از تعريفي است که کودک بعدها با آن آشنا مي شود. در هر حال، رشد درک کودکان در نتيجه ي برخوردهاي بسيار آنان با محيطشان ميّسر است و اين برخوردها بايد از مدّتها قبل صورت پذيرد تا آنها بتوانند به مفاهيم غريب و پيچيده دست يابند.

نمودارها و ترسيمهاي آماري

هنگامي که کودکان ارتباط از طريق نوشتن را مي آموزند، اين واقعيّت را درک مي کنند که براي ايجاد ارتباط در برخي موارد، راههايي بهتر از به کارگيري واژه ها وجود دارد. در مبحث جغرافيا، ارتباط مکتوب بشکل اطلاعات تصويري از طريق نقشه ها صورت مي گيرد. ارتباط اطّلاعات کمّي را نيز مي توان با استفاده از نمودارها و ترسيمهاي آماري به بهترين شکل آن ايجاد کرد. «رابيسن» ( Robison ) در بررسي اقتصادي خود در مورد کودکستان براي ترسيم اطّلاعات کمّي از نمودار استفاده مي کرد. (5) « هِرد » ( Heard ) نيز به کار بردن نمودار ميله اي ( bar graph ) و نمودار تصويري در کودکستان را توضيح داده است. (6)
ارائه ي انواع مختلف نمودارها براي آموزش کودکان خردسال مرسوم است. تهيّه ي نمودار را مي توان بطور ساده با آمارگيري از شاگردان کلاس آغاز کرد، بگونه اي که با رسم فقط دو ستون نشان داد چه تعداد از شاگردان پسر و چه تعداد از شاگردان دختر هستند، يا مشخّص نمود چند تن براي ناهار به خانه مي روند و چند تن در مدرسه مي مانند، يا آنها که در خانه زندگي مي کنند در مقابل افرادي که در آپارتمان سکونت دارند. در ابتداي کار با نمودار مي توان از وسائل سه بُعدي استفاده کرد. يک رديف مکعّبهاي ساختمان يا مکعّبهاي چوبي نماينده ي هر گروه و هر مکعّب نماينده ي يک نفر در مراحل اوّليّه، و در مراحل بعد وسائل دو بُعدي را به کار مي برند.
بعد ازمدّتي کودکان به نمودارهاي پيچيده تر نظير: نمودار روز تولّد آنها ( برحسب ماه )، قد، وزن، رنگ مو و چيزهاي مورد علاقه مي رسند. از درجه ي حرارت اتاق هنگام صبح يا دماي بيرون از اتاق در مقطعي از روز، تعداد غايبين هر روز يا تعداد ماشينهايي که طيّ پنج دقيقه از زنگ تفريح از مقابل مدرسه مي گذرند مي توان نمودار خطّي تهيّه کرد. اين امر بايد مجموعه ي اطّلاعاتي را شامل شود که اکثر اوقات بخشي از مطالعات وسيعتر را تشکيل مي دهد و در گسترش نمودار مؤثّر باشد. اين نحو استفاده از نمودار نشانه ي آن است که بررسي به کمک نمودار، تمريني انتزاعي و نظري نيست بلکه راهي عملي براي ثبت و انتقال اطّلاعات به شمار مي آيد.

پول

مبحث ديگري که اغلب در برنامه ي رياضيّات دوره ي ابتدايي منظور مي شود آشنايي با پول و معادل آن است. از آنجا که سيستم پولي ما، مانند نظام شمارشي، بر مبناي ده بنا شده است، بعد از آشنايي کودکان با سکّه و اسکناس، يادگيري محاسبه ي پولي براي آنها به دانش يا مهارت زيادي نياز ندارد. در حقيقت آموزش استفاده از پول، اعم از پولهاي واقعي يا غير واقعي، به کودکان خردسال منبع سودمندي در جهت تدريس نظام شمارشي محسوب مي شود.
در سالهاي ابتدايي، تأکيد خاص بر اين امر است که کودکان سکّه هاي مختلف را بشناسند و نحوه ي صحيح مبادله ي آن را بياموزند. با آنکه مي توان از پولهاي غير واقعي استفاده کرد، مهارت در به کار بردن سکّه هاي واقعي نيز تا حدّي ضروري است. فراهم آوردن موقعيّتهايي که کودکان بتوانند از سکّه ها در بازي، در بازار ساختگي، يا در فرصتهاي واقعي نظير گردشهايي به منظور خريد، تجربه هاي خريدن، درست کردن و فروختن اشياء استفاده کنند مفيد به نظر مي رسد.

زبان رياضي خردسالان

روانشناسان و متخصّصان تعليم و تربيت اهمّيّت رشد زبان در کودکان و ارتباط زبان و تفکّر را کاملاً درک کرده اند. در زمينه ي رياضيّات توجّه بي حدّي به زبان شده است، به اين علّت که واژگان مورد استفاده در بسياري از برنامه هاي رياضي جديد نسبّت به رياضي قديم مشکلتر است. اين بيگانگي اغلب « اختلاف فاحش رياضيّات دو نسل » را سبب شده است زيرا والدين کودکان، که به رسم رياضي قديم خو گرفته اند، قادر به درک زبان رياضي فرزندان خود نيستند.
نکته ي مهم آن است که يادگيري استفاده از زبان رياضي براي کودکان تا حدّي با دقّت همراه باشد. نيز مهّم است که کودکان رياضي را يک موضوع معني دار بدانند. اگر آنها واژگان جديد را درک کنند و زمان کاربُرد لغات را بفهمند، آنها را در جاي مناسب به کار مي برند. اگر واژگاني که بيشتر مناسب دوره ي فوق ليسانس، و نه کودکستان، است به کودکان ارائه شود معلّم پا را از حدّ نوآوري منطقي فراتر نهاده است و گاه سبب مي شود کودکان واژه هاي جديد را نپذيرند.
درک اين که رياضيّات يک نظام زباني است به اندازه ي يادگيري مهارتهاي محاسبه اهميّت دارد. کودکان با يک نظام تازه ي نماد سازي روبرو مي شوند. شخص به کمک نمادهاي رياضي مي تواند جملات نسبتاً پيچيده ي رياضي را بشکلي ساده، صريح و مشخّص بنويسد، در حالي که اگر آن جمله ها فقط به واژگان منحصر شود، تنظيم آنها مشکل خواهد بود. ضمن آشنايي کودکان با ارزش ارتباط مکتوب مي توان آنها را هدايت کرد تا به اهميّت زبان رياضي پي ببرند و طريقه ي استفاده ي صحيح از آن را بياموزند.

بهره گيري از تجربه هاي عملي

در مهدکودک و کودکستان موقعيّتهاي بسياري براي آموختن آموزش رياضي با فعّاليّتهاي روزانه فراهم مي آيد. آمدن کودکان به مدرسه با ايجاد فرصتي براي حضور و غياب همراه است. نام هر پسر و دختر را مي توان با علامت مشخّص کرد و اين علامتها را در موارد خاصّي دسته بندي يا جمع کرد. فعّاليّتهاي عادي ديگر نيز وضع مشابهي دارند. هنگام صرف چاشت فرصتهايي براي تطابق يک به يک و شمارش پيش مي آيد. مکعّب سازي و فعّاليّتهاي نجّاري و صنايع دستي نيازمند داشتن شمّ رياضي است. از موسيقي و بازيهاي مختلف براي آموزش شمارش و تطابق اعداد استفاده مي کنند. بازيهاي نمايشي منبع فعّاليّتهاي رياضي به شمار مي آيد در بازي فروشگاه از طرز به کار بردن پول، شمارش و اندازه گيري صحبت مي شود و نمايش اتوبسراني يا خانه داري نيز موقعيّتهاي مشابهي ايجاد مي کند.
کودکان طيّ سالهاي ابتدايي، کمتر به فعّاليّتهاي تخيّلي کلاسي سرگرم مي شوند. دراين وضع معلّم بايد در آموزش رياضيّات از واقعيّتها استفاده کند. اغلب کلاسها پر از اشيايي هستند که از آنها مي توان براي آموزش مقايسه، شمارش، جمع، وزن و اندازه گيري استفاده کرد. اين نکته حائز اهمّيّت است که بايد به کودکان فرصت داد تا اعمال رياضي را تمرين کنند و به راهنماييهايي که مي شود نيز توجّه داشته باشند. يکي از وسايلي که در دوره ي آمادگي مدارس انگلستان به اين منظور به کار مي رود « کارت تکليف » نام دارد.
کارت تکليف کارتي است که مسأله يا فعّاليّت خاصّي را در آن مي نويسند تا کودکان به حلّ آنها سرگرم شوند. تهيّه ي کارتهاي تکليف امکان آموزش انفرادي را در کلاس فراهم مي کند و راه را براي فعّاليّتهاي مختلف کودکان باز مي گذارد. از اين طريق راهنمايي دائم کودکان توسّط معلّم ضروري به نظر نمي رسد. از يک جعبه ي کوچک مي توان براي نگهداري تعداد زيادي کارت استفاده کرد. گاهي اين کارتها را از ساده تا مشکل شماره گذاري و بر حسب موضوع علامت گذاري مي کنند. از کارتهاي تکليف مي توان براي تدريس وزن، اندازه گيري طول، کار با ساعت، شمارش، نوشتن معادله، اندازه گيري حجم و هندسه استفاده کرد. معلّم بايد راهي را نيز براي تصحيح تکليفهاي نوشته شده برگزيند.
هرچند برخي کارتهاي تکليف داراي سؤالات بسته است، امّا گاهي کارتهاي سؤالات باز نيز تهيّه مي شود تا فرصتهايي را براي ابراز خلاّقيّت و اکتشاف در زمينه ي رياضيّات فراهم کند. نمونه هايي از اين نوع کارتها را در اينجا ذکر مي کنيم:

وزن

يک پيمانه برنج را در يک کفّه ي ترازو و يک پيمانه ي لوبيا را در پيمانه ي ديگر بگذاريد. کدام سنگين تر است؟ شرحي در اين باره بنويسيد.
بعد از انتخاب دو شيء که هم اندازه به نظر مي رسند آنها را وزن کنيد. آيا وزن آنها يکي است؟ حال دو شيء را انتخاب کنيد که هم وزن به نظر آيند اما اندازه ي آنها متفاوت باشد. آنها را وزن کنيد؛ آيا وزن آنها يکي است؟ تخمين زدن وزنهاي مساوي آسانتر است يا اندازه هاي مساوي؟
يکي از کفشهايتان را در آوريد و در ترازو بگذاريد. وزن تقريبي آن را تعيين کنيد. آن را در دفتر بنويسيد. « وزن کفش من.... است. »

اندازه گيري طول

طول ميز خود را اندازه بگيريد. اندازه ي طول ميز معلّم را تعيين کنيد. کدام ميز بلندتر است؟
قدّ همه ي پسران کلاس را اندازه بگيريد. اندازه ها را از بلندترين پسر شروع و در دفتر ثبت کنيد.

حجم

با استفاده از يک فنجان يک ظرف يک ليتري را پر کنيد. چند فنجان مي شود؟

شمارش

پنجره هاي کلاس را بشمُريد. چند پنجره را مي توان باز گذاشت؟ چند پنجره را بايد بست؟ آيا پنجره هاي ديگري باز يا بسته مي شوند؟
کتابهاي جلد آبي کتابخانه را بشمُريد.

نمودار

نموداري بسازيد که در آن واحدهاي مکعّب شکل نماينده افراد باشند. تعداد همکلاسيهايي را که روز تولّد آنها در يک ماه است مشخّص کنيد. شرحي درباره آن بنويسيد.

مساحت

سطح ميز خود را با کارتهاي انديس بپوشانيد. چند کارت لازم است؟

شکل

چند شيئ مي توانيد در کلاس پيدا کنيد که در آنها شکل دايره است؟ از آنها ليست برداريد.
با دو مربع طرحي بکشيد. چند طرح ديگر مي توانيد بسازيد؟
با انجام اين قبيل تمرينها، کودکان آنچه را در دنياي پيرامون خود مي بينند با رياضيّات ارتباط مي دهند از اين طريق آنها در زمينه ي رياضي جديد به بصيرتي مي رسند و دانشي را که اندوخته اند به عمل مي رسانند. در استفاده ازکارتهاي تکليف، همچنانکه در استفاده از ساير وسائل نيز مطرح است، بايد عاقلانه عمل کرد. اگر کاربرد آنها قالبي باشد، بهره ي آنها از حدّ کتابچه هاي تمرين تجاوز نمي کند. اگر به کمک قوه ي تخيّل از آنها استفاده شود، بدون شک در آموزشي کردن محيط پيرامون کودکان مؤثّر خواهند بود. با بهره گيري از محيط به عنوان منبعي براي آموزش رياضيّات، در زمينه ي درک اين درس چشم انداز تازه اي مقابل کودکان گشوده مي شود.

استفاده از وسائل آموزشي

هر چند محيط طبيعي کودک فرصتهاي زيادي را براي آموزش رياضي به همراه دارد لکن نمي توان رويدادهاي معمول را تنها منبع يادگيري دانست. بسياري از منابع ديگر را نيز بايد در برنامه منظور کرد.
در دوره ي ابتدايي، معلّم معمولاً احساس مي کند به کتابهاي درسي و کتابچه هاي تمرين رياضي وابسته است. اگر استفاده از اين منابع اختياري باشد، فعّاليّتهاي آموزشي پرباري حاصل خواهد شد. کتابهاي درسي گاهي براي معلّم و کودکان نوعي راهنماي آموزش محسوب مي شود. انتخاب يک دوره ازکتابهاي درسي ممکن است در آموزش سال بسال و در ايجاد تداومي مشخّص و ثابت مؤثّر باشد. اين گونه کتابها فعّاليّتهاي آموزشي و تمريني بسياري را نيز به همراه دارد.
به هر حال تدريس رياضي بايد از محدوده ي کتاب درسي خارج شود. وسائل دست ساز بي شماري که در دسترس کودکان قرار مي گيرند بايد بگونه اي انتخاب شوند که از طريق کاربرد عملي نمونه هاي ملموسي از آنچه تدريس مي شود در درک مفاهيم و فرايندها به کودک مؤثّر باشند. بسياري از اين نوع وسائل توسّط شرکتهاي تجارتي ساخته مي شوند. تعداد زيادي از اين وسائل که معلّمان خود آنها را مي سازند نيز در اين زمينه قابل استفاده اند و بايد در برنامه گنجانده شوند. ضمن آنکه کميّت و نوع وسائل مورد نياز در هر زمان به نياز کلاس بستگي دارد، ايجاد محلّي براي آموزش رياضي در کلاس براي نگهداري و استفاده از وسائل آموزش رياضيّات مفيد است. اين وسائل را بايد در دسترس کودکان بشکلي قرار داد که بتوانند براحتي از آنها استفاده کنند و با ايجاد نظم در چيدن آنها، کار نظافت محيط مشکل نباشد.
گذشته از تهيّه ي وسائل آموزشي، معلّم همچنان کليد موفّقيّت در برنامه محسوب مي شود. هرچند معلّم بايد به درس رياضي و روشهاي تدريس آن مسلّط باشد، حسّاسّيت او نسبت به شاگردان اهميّت بيشتري دارد. علّت آن است که او در چهارچوب دانشي که دارد مدام در حال تصميم گيري، طرح ريزي براي فعّاليّتها، ارزيابي برنامه، شناسايي مشکلات و تهيّه ي منابع آموزشيِ بيشتر براي عدّه اي و جستجو براي طرح فعّاليتهاي پربار براي گروهي ديگر به سر مي برد. معلّم است که مي تواند در سالهاي اوّل تحصيل به درس رياضي زمينه اي اساسي و پرمعني براي تحقيق بدهد.

پي‌نوشت‌ها:

1- Set theory.
2- Howard Fehr Sense and Nonsense in a Modern School Mathematics Program The Arithmetic Teacher Vol 13. No. 2 ( Feburary1966 ) ,87
3- طريقه ي محاسبه ي تسلسلي ( Algorithm ).
4- Lassar G,. Gotkin. A Calendar Curriculum for Disadvanteged Kindergarten Children Teachers Collage Record. Vol 68 No. 5 ( February 1967 ) 406-17.
5- Helen F. Robison Learning Economic Consepts in the Kindergarten Unpub lished Ed. D. Project Teachers Collage Columbia Uneversity 1963.
6- Ida Mae Ileard Making and Using Graphs in the Kindergarten Mathematics Program The Arithmetic Teacher Vol. 15. No. 6 ( October 1968 ) 504-506.